CasADi中范数计算在优化问题中的注意事项

问题背景

在使用CasADi进行优化问题建模时，范数计算是一个常见的操作。然而，许多开发者在使用norm_2函数时会遇到一些意外的行为，特别是在最优解处出现NaN值的情况。本文将深入分析这一现象的原因，并提供解决方案。

现象分析

当使用CasADi的norm_2函数计算两个向量的差异范数时，在最优解处（即两个向量完全相等时），导数计算会返回NaN值。而如果改用向量内积的方式实现相同的计算，则不会出现这个问题。

根本原因

1. 数值稳定性问题：norm_2函数的实现涉及平方根运算，在计算导数时需要除以范数值。当向量完全相等时，范数值为零，导致除以零的情况发生。

2. 自动微分机制：CasADi的自动微分系统会忠实计算数学表达式，包括这种可能导致数值不稳定的情况。

解决方案

1. 使用内积替代范数：对于平方范数计算，推荐使用向量内积的方式：

   f = 1/2*(y-yref).T @ (y-yref)
   

   这种方式避免了平方根运算，在数学上等价但数值更稳定。

2. 添加小量正则化：如果必须使用范数计算，可以添加一个小量避免除以零：

   epsilon = 1e-10
   f = 1/2*(cs.norm_2(y-yref)**2 + epsilon)
   

3. 使用专门的距离函数：CasADi提供了squaredNorm函数，专门用于计算平方范数，避免了数值问题。

最佳实践建议

1. 在优化问题中，优先使用平方范数而非标准范数，因为：

   • 平方范数保持了凸性
   • 避免了平方根运算带来的数值问题
   • 计算效率更高

2. 对于约束条件中的范数计算，考虑使用专门的约束处理技巧，如松弛变量或重新参数化。

3. 在必须使用标准范数的场合，确保添加适当的小量正则化项。

结论

理解CasADi中范数计算的内部机制对于构建稳定可靠的优化模型至关重要。通过选择适当的数学表达形式，可以避免数值不稳定问题，确保优化算法能够顺利收敛到最优解。在大多数情况下，使用向量内积而非范数函数是更优的选择。