Lean 4 定理证明最佳实践教程

1. 项目介绍

Lean 是一个开源的定理证明系统，它被设计用于证明数学定理以及开发证明辅助的软件系统。Lean 4 是 Lean 的最新版本，它进行了重大改进，提供了更加强大和灵活的功能。本项目旨在提供一个用于学习和使用 Lean 4 定理证明的实践指南。

2. 项目快速启动

首先，确保您的系统中已经安装了 Lean 4。以下是在 Lean 4 中编写和验证一个简单定理的步骤：

-- 导入 Lean 的基本逻辑库
import Lean

-- 定义一个定理，它声明对于任何自然数 n，n 加 1 大于 n
theorem add_one_greater (n : Nat) : n + 1 > n :=
  -- 使用 `Nat.add1` 和 `Nat.lt` 函数来证明定理
  by exact Nat.add1_lt (Nat.add1 n)

-- 上述代码块中的 "theorem" 关键字声明了一个定理
-- "add_one_greater" 是定理的名称
-- "(n : Nat)" 是定理的一个参数，表示 n 是一个自然数
-- ": n + 1 > n" 是定理要证明的命题
-- "by exact Nat.add1_lt (Nat.add1 n)" 是证明，使用了 Lean 的内置函数和推理规则

-- 若要在 Lean 4 中运行此代码，您需要一个 Lean 4 解释器或者将代码保存为 .LEAN 文件并在 Lean 4 环境中打开

3. 应用案例和最佳实践

3.1 基本逻辑推理

使用 Lean 4 进行基本逻辑推理时，最佳实践是尽可能使用 Lean 的内置逻辑规则和函数。以下是一个使用 Lean 4 证明等价关系的例子：

theorem eq_transitive (a b c : Nat) (h1 : a = b) (h2 : b = c) : a = c :=
  by exact eq.trans h1 h2 -- 使用等价关系的传递性

3.2 证明脚本编写

编写证明脚本时，应该保持代码的简洁和可读性。以下是一个最佳实践：

• 使用合适的命名。
• 在证明复杂时，拆分证明步骤为小的子证明。
• 利用 Lean 的自动化工具（如 clarsimp，ringat 等）。

theorem add_comm (a b : Nat) : a + b = b + a :=
  by
  have h1 : a + b = b + a := rfl -- 利用反射证明等式
  exact h1

4. 典型生态项目

Lean 4 社区中有许多优秀的生态项目，以下是一些典型的例子：

• mathlib: Lean 4 的数学库，包含了大量数学理论和定理。
• olean: Lean 4 的在线编辑器，提供了一个交互式的 Lean 开发环境。
• lean-lint: Lean 4 的代码风格检查工具，帮助维护代码质量。

通过参与这些项目，您可以更好地了解 Lean 4 的应用和开发实践。