机器学习项目笔记:逻辑回归与Softmax回归原理详解
2025-06-07 16:08:27作者:姚月梅Lane
逻辑回归理论基础
逻辑回归(Logistic Regression)是机器学习中经典的分类算法,虽然名称中带有"回归"二字,但它实际上是一种用于解决二分类问题的线性模型。下面我们将深入探讨其核心原理。
模型函数推导
逻辑回归模型基于Sigmoid函数构建,其数学表达式为:
其中:
- 是线性组合
- 表示特征维度
- 和 是需要学习的参数
Sigmoid函数将线性输出映射到(0,1)区间,可以解释为样本属于类别的概率。
最大似然估计与损失函数
逻辑回归采用最大似然法进行参数估计。对于N个样本的训练集,似然函数为:
取负对数后得到交叉熵损失函数:
这个损失函数具有良好的数学性质:
- 当预测值与真实值差距大时,梯度也大,参数更新快
- 是凸函数,能保证梯度下降找到全局最优解
梯度下降算法推导
通过求导可以得到参数的更新规则:
其中是学习率。这个更新规则形式简洁,计算高效,适合大规模数据。
为什么选择交叉熵而非平方误差
初学者可能会疑惑为何不使用熟悉的平方误差作为损失函数,主要原因有二:
-
梯度特性差异:交叉熵在预测错误时提供更大的梯度,加速学习;而平方误差在预测严重错误时梯度反而很小,导致学习缓慢。
-
凸性保证:交叉熵损失是凸函数,保证能找到全局最优;平方误差会导致非凸的损失面,容易陷入局部最优。
下图直观展示了两种损失函数的差异:
交叉熵损失:陡峭→平缓
平方误差:平缓→更平缓→陡峭
Softmax回归:多分类扩展
当分类问题超过两类时,我们需要使用Softmax回归,它是逻辑回归在多分类问题上的推广。
Softmax函数定义
Softmax函数将K个实数映射为概率分布:
其中是第i类的得分。Softmax确保:
- 所有输出在(0,1)区间
- 所有输出之和为1
交叉熵损失函数
多分类问题中使用类别交叉熵:
其中是真实标签的one-hot编码,是预测概率。
梯度推导
Softmax的梯度计算较为复杂,但推导后可以得到简洁的表达式:
这与二分类逻辑回归的梯度形式高度一致,体现了算法的一致性。
代码实现要点
在实际实现时需要注意:
-
数值稳定性:计算指数时可能溢出,通常实现时会减去最大值:
exp_scores = np.exp(z - np.max(z, axis=1, keepdims=True))
-
正则化:通常加入L2正则项防止过拟合:
reg_loss = 0.5 * reg * np.sum(W * W)
-
批量处理:使用矩阵运算加速计算,避免循环。
应用场景对比
- 逻辑回归:二分类问题,如垃圾邮件识别、疾病诊断
- Softmax回归:多类别互斥分类,如手写数字识别、图像分类
理解这两种算法的原理和实现细节,是掌握分类问题的基础,也为学习更复杂的神经网络模型奠定了重要基础。
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