CVXPY中QP问题求解差异分析：CLARABEL与OSQP的表现对比

问题背景

在使用CVXPY求解二次规划(QP)问题时，开发者可能会遇到不同求解器返回不同解的情况。本文通过一个实际案例，分析当使用CLARABEL和OSQP两种求解器时，为何会出现解不一致的现象，以及如何正确理解和处理这类问题。

案例展示

考虑以下优化问题：

m = [10_000, 10_000, 10_000, 10_000]
s = [0.4, 0.6, 0.9, 0.1]
weights = [20_000, 20_000, 20_000, 20_000]
dt = 15.0/60
n = len(m)

x = cp.Variable(n)
total_m = 30_000
constraints = [
    0 <= x,
    x <= m,
    cp.sum(x) == total_m,
]

objective = cp.sum_squares(s + x * dt / weights - 0.5)

当分别使用CLARABEL和OSQP求解器时，得到了不同的结果：

• CLARABEL找到的解在边界上(x = [10000., 10000., 0., 10000.])
• OSQP找到的解在内部(x ≈ [7510., 7490., 7460., 7540.])

问题根源分析

这种差异的根本原因在于问题的数值缩放比例不当。具体来说：

1. 二次项系数过小：表达式中的(dt/weights)**2约为1e-10量级，导致QP问题中的二次项系数几乎可以忽略不计。

2. 求解器处理方式不同：

   • CLARABEL作为锥优化求解器，直接处理原始问题的仿射形式，最小系数约为1e-5量级
   • OSQP作为纯QP求解器，处理的是转换后的QP形式，二次项系数过小导致数值精度问题

3. 目标函数敏感性：实际上，目标函数值主要受线性项s - 0.5主导，二次项贡献极小

解决方案

针对这类数值缩放问题，推荐以下解决方法：

1. 变量重缩放：将变量m、total_m、weights和x缩小约1000倍，使数值范围更合理

2. 问题重构：考虑将目标函数中的小系数项提取出来，单独处理

3. 求解器选择：对于包含极小系数的QP问题，优先考虑使用锥优化求解器(如CLARABEL)

最佳实践建议

1. 在建模时，应始终保持变量的合理数值范围(如1-1000之间)

2. 对于包含不同数量级系数的问题，考虑进行预处理和缩放

3. 当发现不同求解器结果不一致时，首先检查问题的数值特性而非直接怀疑求解器

4. 理解不同求解器的工作原理和适用场景，选择合适的工具

通过正确的问题缩放和求解器选择，可以确保获得稳定可靠的优化结果。