在Gen.jl中使用粒子滤波后验分布作为选择映射的技术方案

背景概述

在概率编程框架Gen.jl中，粒子滤波是一种常用的近似推理方法。当我们需要将一个模型的后验分布作为另一个模型的选择映射(choice map)时，会遇到一些技术挑战。特别是在使用粒子滤波产生多个粒子(如50个)的情况下，如何有效地处理同一状态下多个观测值的问题。

核心问题分析

假设我们有两个相关模型：

• 模型1：包含随机变量y和z，其中z是观测变量
• 模型2：包含随机变量x、y和z，其中z是观测变量

模型1的后验分布p₁(y|z)通过粒子滤波近似为一组加权粒子[(yᵢ, wᵢ)]。我们需要将这些粒子作为模型2中y的提议分布。

技术实现方案

1. 粒子滤波作为提议分布

我们可以将粒子滤波的结果视为一个近似分布q(y|z)，它逼近p₁(y|z)。具体实现步骤如下：

1. 使用Gen.sample_unweighted_traces按权重从粒子集合中采样y值
2. 通过Gen.log_ml_estimate获取对数边际似然估计Ẑ
3. 使用Gen.get_score评估特定轨迹的p₁(y,z)

2. 重要性采样实现

结合模型2的提议分布q(x)，我们可以构建重要性采样方案：

1. 从q(x)提议x值
2. 通过粒子滤波给定观测z，从q(y|z)提议y值
3. 计算重要性权重：w = p₂(x,y,z)/(q(x)q̂(y|z))

其中q̂(y|z) = E[p₁(y,z)/Ẑ]是q(y|z)的无偏估计。

数学基础

该方案的数学基础在于：

• 近似分布的性质：q(y|z) = E[p₁(y,z)/Ẑ]
• 其倒数的无偏估计：1/q(y|z) = E[Ẑ/p₁(y,z)]
• 重要性权重的正确性保证

实现建议

在实际实现时，建议参考Gen.jl中importance_sampling的源代码，主要修改以下部分：

• 采样方式改为从粒子滤波中采样
• 重新计算proposal_weight和log_weight
• 确保权重计算中包含粒子滤波的边际似然估计

扩展思考

对于更复杂的场景，可以考虑使用GenSP.jl这一Gen.jl的变种，它提供了更便捷的实现方式。此外，当模型间的变量关系更复杂时，可能需要调整提议分布的结构。

总结

通过将粒子滤波结果作为提议分布，我们可以在Gen.jl中实现模型间的信息传递。这种方法虽然不是严格的随机条件化，但在实践中能提供良好的近似效果。关键在于正确处理粒子滤波的权重和边际似然估计，确保重要性采样的有效性。