MFEM中非线性扩散问题的求解方法

非线性稳态扩散问题

在MFEM框架中，求解非线性扩散方程需要采用与线性问题不同的处理方式。对于稳态非线性扩散方程：

-∇·(κ(u)∇u) = f

我们可以使用NonlinearForm配合适当的NonlinearFormIntegrator来实现。与线性问题使用BilinearForm不同，非线性问题需要专门的非线性形式处理。

核心实现步骤如下：

1. 创建非线性形式对象：

NonlinearForm n(&fespace);

2. 添加非线性积分器：

n.AddDomainIntegrator(new DiffusionIntegrator);

3. 设置边界条件：

n.SetEssentialBC(boundary_dofs);

4. 使用非线性求解器（如牛顿法）求解：

NewtonSolver newton;
newton.SetOperator(n);
newton.Mult(b, x);

这种方法直接在元素级别处理非线性项，不需要显式地构建全局矩阵，适用于一般的非线性问题求解。

时间依赖非线性扩散问题

对于时间依赖的非线性扩散方程：

∂u/∂t - ∇·(κ(u)∇u) = f

MFEM提供了不同的处理策略。常见的方法包括：

1. 显式时间积分：适合非线性项较弱的情况，可以直接使用非线性形式计算右端项。

2. 隐式时间积分：需要处理非线性项的时间离散。在MFEM的示例ex16中，采用了以下方法：

void ConductionOperator::SetParameters(const Vector &u)
{
   GridFunction u_alpha_gf(&fespace);
   u_alpha_gf.SetFromTrueDofs(u);
   
   // 计算非线性系数
   for (int i = 0; i < u_alpha_gf.Size(); i++) {
      u_alpha_gf(i) = kappa + alpha*u_alpha_gf(i);
   }

   delete K;
   K = new BilinearForm(&fespace);

   // 使用网格函数系数
   GridFunctionCoefficient u_coeff(&u_alpha_gf);
   K->AddDomainIntegrator(new DiffusionIntegrator(u_coeff));
   
   // 组装系统矩阵
   K->Assemble();
   K->FormSystemMatrix(ess_tdof_list, Kmat);
}

这种方法在每个时间步重新计算非线性系数并组装矩阵，适合强非线性问题。它通过BilinearForm构建全局矩阵，便于隐式时间积分方法的实现。

方法选择建议

1. 对于稳态问题，推荐使用NonlinearForm直接处理非线性项。

2. 对于时间依赖问题：

   • 若非线性较弱，可考虑显式方法配合NonlinearForm
   • 若非线性较强，推荐采用隐式方法，如ex16中的矩阵重组策略

3. 性能考虑：

   • NonlinearForm通常内存占用较小，但每次迭代需要重新计算非线性项
   • 矩阵重组方法需要更多内存，但可能收敛性更好

理解这两种方法的区别和适用场景，有助于在实际问题中选择合适的求解策略。