MFEM中矩阵自由方法与经典矩阵组装方法的性能对比分析

概述

本文探讨了在使用MFEM框架时，矩阵自由(partial assembly)方法与经典矩阵组装方法在求解偏微分方程时的性能差异。通过实际测试案例，我们发现矩阵自由方法在某些情况下可能比传统方法更慢，这与预期不符。

测试环境与案例

测试基于MFEM的示例程序ex1，在3D Fichera网格上求解Poisson方程，使用4阶基函数，自由度约为2400万。测试平台为CPU环境下的VMware虚拟机。

性能对比结果

1. 经典FEM求解器：使用GSSmoother预处理器，80次迭代，耗时36秒
2. 矩阵自由CG求解器：
   • 使用组装矩阵预处理器：80次迭代，47秒
   • 使用LOR预处理器：138次迭代，45秒
   • 使用OperatorJacobiSmoother预处理器：195次迭代，59秒

性能差异分析

矩阵自由方法理论上应在矩阵-向量乘法运算上更快，但实际测试显示：

1. 矩阵自由方法的每次迭代时间并未显著优于稀疏矩阵-向量乘法
2. 矩阵自由方法通常需要更多迭代次数

可能原因包括：

• 基函数阶数不够高(仅4阶)，未能充分发挥矩阵自由方法的优势
• 缺乏AVX向量化支持
• 预处理器的选择不当

优化建议

针对H1空间问题：

1. 使用HYPRE的BoomerAMG预处理器
2. 尝试p-多重网格方法(ex26p示例)
3. 结合LOR和BoomerAMG的预处理器组合

针对H(curl)和H(div)空间问题：

1. 分别使用AMS和ADS预处理器
2. 对于H(div)问题，可考虑混合化求解器

LOR预处理器的特殊优化

测试发现，使用LORSolver比直接使用GSSmoother预处理器在LOR双线性形式上效率更高(46次迭代vs69次迭代)。这是因为LORSolver采用了共位积分来组装低阶细化系统，这种降阶积分策略实际上能为高阶系统提供更好的预处理效果。

预处理器设置顺序的影响

在完全组装模式下，预处理器设置顺序会影响收敛性：

• 先设置预处理器再设置算子：迭代次数更少但总时间更长
• 先设置算子再设置预处理器：迭代次数更多但总时间更短

这种差异源于MFEM内部对算子-预处理器交互处理方式的优化，已在后续版本中修复。

结论

矩阵自由方法的性能优势在特定条件下才能显现，包括：

• 足够高的基函数阶数
• 适当的预处理器选择
• 硬件向量化支持
• 针对特定问题空间(H1/Hcurl/Hdiv)的专用预处理器

在实际应用中，建议根据具体问题特点进行方法选择和参数调优，以获得最佳性能。