OpenCV 图像几何变换实战：缩放、平移、旋转、仿射与透视变换的矩阵原理与代码实现

本文以 OpenCV Python 官方教程《Geometric Transformations of Images》为主体，系统讲解图像几何变换的两大核心函数 cv.warpAffine 与 cv.warpPerspective，覆盖缩放、平移、旋转、仿射变换和透视变换五类操作的完整代码、变换矩阵推导与参数细节，并结合仓库中 getRotationMatrix2D 的 C++ 源码实现与 imgproc 模块的测试用例，帮助读者从"会调用"深入到"懂原理"。读完本文，你可以独立完成任意 2D 图像几何变换，并理解每个参数（输出尺寸、旋转中心、插值方法）在底层如何起作用。

上图为教程中四类变换（平移、旋转、仿射、透视）在官方示例图上的真实运行结果，分别对应该教程 原文 中四个代码段的输出。

两个入口函数：warpAffine 与 warpPerspective

OpenCV 用两个函数支撑几乎全部几何变换：

• cv.warpAffine()：接收一个 2x3 的仿射变换矩阵，完成平移、旋转、缩放、剪切等仿射操作；
• cv.warpPerspective()：接收一个 3x3 的透视变换矩阵，完成单应（homography）级别的透视操作。

因此掌握几何变换的关键在于两件事：一是会构造正确的变换矩阵，二是理解变换矩阵如何被 warp 函数应用到每个像素。矩阵构造由三类辅助函数完成：

辅助函数	输入	输出矩阵	配套 warp 函数
cv.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)	旋转中心、角度、缩放系数	2x3	cv.warpAffine
cv.getAffineTransform(src, dst)	源图/目标图各 3 个不共线对应点	2x3	cv.warpAffine
cv.getPerspectiveTransform(src, dst)	源图/目标图各 4 个对应点（其中任意 3 点不共线）	3x3	cv.warpPerspective

这些函数在 C++ 端的声明与文档注释见 imgproc 头文件 和 geometry 模块头文件。

缩放（Scaling）

缩放本质上就是图像缩放，由 cv.resize() 完成。尺寸可以手动指定，也可以指定缩放因子 fx / fy，两种写法等价：

import numpy as np
import cv2 as cv

img = cv.imread('messi5.jpg')
assert img is not None, "file could not be read, check with os.path.exists()"

res = cv.resize(img, None, fx=2, fy=2, interpolation=cv.INTER_CUBIC)

# OR

height, width = img.shape[:2]
res = cv.resize(img, (2*width, 2*height), interpolation=cv.INTER_CUBIC)

插值方法的选择直接影响质量，官方推荐的搭配是：

• 缩小图像：优先 cv.INTER_AREA（区域平均，抑制混叠）；
• 放大图像：cv.INTER_CUBIC（三次卷积，较慢但质量高）或 cv.INTER_LINEAR（双线性，默认）；
• 若显式传入 dsize 而未指定 fx/fy，缩放因子由 fx = dst_width / src_width、fy = dst_height / src_height 反推。

注意 resize 的目标尺寸参数顺序是 (width, height)，即 (宽, 高)，与 img.shape 返回的 (height, width) 相反，这是初学者最常踩的坑之一。

平移（Translation）

平移是物体位置的移动。若已知 (x, y) 方向的偏移量 (tx, ty)，变换矩阵为：

M = [ 1  0  tx ]
    [ 0  1  ty ]

将其转为 np.float32 数组后传入 cv.warpAffine() 即可。以偏移 (100, 50) 为例：

import numpy as np
import cv2 as cv

img = cv.imread('messi5.jpg', cv.IMREAD_GRAYSCALE)
assert img is not None, "file could not be read, check with os.path.exists()"
rows, cols = img.shape

M = np.float32([[1, 0, 100], [0, 1, 50]])
dst = cv.warpAffine(img, M, (cols, rows))

cv.imshow('img', dst)
cv.waitKey(0)
cv.destroyAllWindows()

运行结果即前文所示的 translation.jpg：图像整体向右下移动，左上角露出背景。

官方警告（务必注意）：cv.warpAffine() 的第三个参数是输出图像尺寸，形式为 (width, height)。牢记 width = 列数（cols），height = 行数（rows）。若误写为 (rows, cols)，输出图像会被拉伸变形。

旋转（Rotation）

以角度 θ 旋转的基础 2x2 矩阵为：

M = [ cosθ   -sinθ ]
    [ sinθ    cosθ ]

但 OpenCV 提供的 cv.getRotationMatrix2D() 支持可调缩放与任意旋转中心，其生成的 2x3 矩阵为：

M = [ α   β   (1-α)·center.x - β·center.y ]
    [ -β  α   β·center.x + (1-α)·center.y ]

其中  α = scale·cosθ,  β = scale·sinθ

这个公式的含义是"先绕中心旋转+缩放，再平移回原位"：中心点 (center.x, center.y) 本身在变换下保持不动。结合仓库 C++ 源码可以逐行印证：geometry.cpp 中 getRotationMatrix2D_ 的实现 中，先把角度换算成弧度，再计算 alpha = cos(angle)*scale、beta = sin(angle)*scale，最后直接按上式填充 2x3 矩阵；参数语义在 2d.hpp 的 API 注释 中说明得很清楚：角度单位为度，正值表示逆时针（以图像左上角为坐标原点），scale 是各向同性缩放因子。

将图像绕其中心旋转 90°（不缩放）的完整代码：

img = cv.imread('messi5.jpg', cv.IMREAD_GRAYSCALE)
assert img is not None, "file could not be read, check with os.path.exists()"
rows, cols = img.shape

# cols-1 and rows-1 are the coordinate limits.
M = cv.getRotationMatrix2D(((cols-1)/2.0, (rows-1)/2.0), 90, 1)
dst = cv.warpAffine(img, M, (cols, rows))

这里旋转中心取 ((cols-1)/2.0, (rows-1)/2.0)，即图像几何中心（像素坐标上限为 cols-1 与 rows-1）。运行结果见 rotation.jpg。

两个实践要点：

1. 中心点计算要严谨：用浮点除法 (cols-1)/2.0 而非整数除法，否则中心会偏移半个像素，旋转后出现不对称的缺口；
2. 旋转后画布裁剪问题：非 90° 倍数的旋转会超出原画布，教程示例固定输出尺寸为 (cols, rows) 会裁掉四角。从 imgproc 的 warp 测试用例 可以看到官方测试同样以旋转矩阵构造输入并逐像素比对 warpAffine/warpPerspective 的输出，验证了"矩阵 + 输出尺寸"这一最小输入组合足以完整定义一次 warp 操作。若需保留全部像素，常规做法是把 M 的平移项再补偿一个由旋转角度和图像尺寸推导出的位移量（即 expand 思想的等价手动实现）。

仿射变换（Affine Transformation）

仿射变换的几何性质是：原图中所有平行线，变换后仍然平行。求解变换矩阵需要输入图像上的 3 个点及其在输出图像中的对应位置，cv.getAffineTransform 据此解算出一个 2x3 矩阵，再交给 cv.warpAffine 执行。

教程以 drawing.png 为例，选取的三对对应点用绿色标出：

img = cv.imread('drawing.png')
assert img is not None, "file could not be read, check with os.path.exists()"
rows, cols, ch = img.shape

pts1 = np.float32([[50, 50], [200, 50], [50, 200]])
pts2 = np.float32([[10, 100], [200, 50], [100, 250]])

M = cv.getAffineTransform(pts1, pts2)

dst = cv.warpAffine(img, M, (cols, rows))

plt.subplot(121), plt.imshow(img), plt.title('Input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst), plt.title('Output')
plt.show()

结果见 affine.jpg：三个控制点精确映射到目标位置，整幅图的直线结构保持平行关系。

从源码结构看，getAffineTransform 的本质是解一个线性方程组：每对点 (xi, yi) → (xi', yi') 提供两个方程，3 对点共 6 个方程恰好解出 2x3 矩阵的 6 个未知数，这正是"为什么必须 3 个点且不能共线"的数学原因（共线时方程组秩不足，矩阵不唯一）。C++ 端对应的数学形式在 2d.hpp 的 getAffineTransform 注释 中给出：[x'_i, y'_i]^T = map_matrix · [x_i, y_i, 1]^T。

仿射变换的另一个实用方向是求逆：cv.invertAffineTransform() 可以从 2x3 矩阵直接解出逆变换矩阵（见 2d.hpp 注释），适用于"已知正向映射、需要反向对齐"的场景。

透视变换（Perspective Transformation）

透视变换需要 3x3 矩阵，其几何性质是：直线变换后仍为直线，但平行性不再保持（平行线可以收敛到灭点）。求解矩阵需要 4 对对应点，其中任意 3 点不共线，由 cv.getPerspectiveTransform 解算，再用 cv.warpPerspective 应用。

经典应用是把倾斜拍摄的文档"摆正"。教程用 sudoku.png 演示将斜拍的九宫格拉直为 300x300 的正矩形：

img = cv.imread('sudoku.png')
assert img is not None, "file could not be read, check with os.path.exists()"
rows, cols, ch = img.shape

pts1 = np.float32([[56, 65], [368, 52], [28, 387], [389, 390]])
pts2 = np.float32([[0, 0], [300, 0], [0, 300], [300, 300]])

M = cv.getPerspectiveTransform(pts1, pts2)

dst = cv.warpPerspective(img, M, (300, 300))

plt.subplot(121), plt.imshow(img), plt.title('Input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst), plt.title('Output')
plt.show()

结果见 perspective.jpg：左侧斜拍原图中四点连线构成的平行四边形，被精确映射为右侧 300x300 的正方形。

为什么是 4 个点？从 2d.hpp 中 getPerspectiveTransform 的注释 可以看到，3x3 单应矩阵有 8 个自由度（整体尺度不敏感），每对点对应齐次坐标方程 [t_i·x'_i, t_i·y'_i, t_i] = map_matrix · [x_i, y_i, 1]，每对点提供 2 个有效方程，4 对点恰好解出 8 个未知数——这也解释了"任意 3 点不共线"的约束：否则方程组退化、解不唯一。

参数速查与验证路径

把五个操作的要点汇总为一张速查表：

变换类型	矩阵构造	执行函数	矩阵形状	关键点约束
缩放	无需矩阵	cv.resize(dsize, fx, fy, interpolation)	—	缩小用 INTER_AREA，放大用 INTER_CUBIC/INTER_LINEAR
平移	手工构造 [[1,0,tx],[0,1,ty]]	cv.warpAffine	2x3	输出尺寸为 (width, height)
旋转	cv.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)	cv.warpAffine	2x3	角度单位是度，正值逆时针
仿射	cv.getAffineTransform(pts1, pts2)	cv.warpAffine	2x3	3 对对应点，不可共线
透视	cv.getPerspectiveTransform(pts1, pts2)	cv.warpPerspective	3x3	4 对对应点，任意 3 点不共线

想验证本文结论或直接阅读底层实现，可以沿以下路径深入当前仓库：

• 旋转矩阵实现：modules/geometry/src/geometry.cpp#L718-L731，公式与教程完全一致；
• API 声明与文档注释：modules/geometry/include/opencv2/geometry/2d.hpp 中 getRotationMatrix2D、getAffineTransform、getPerspectiveTransform、invertAffineTransform 的完整公式推导；
• warp 函数正确性测试：modules/imgproc/test/test_imgwarp.cpp 与 modules/imgproc/test/test_imgwarp_strict.cpp，其中包含 getRotationMatrix2D 构造矩阵后逐像素比对 warpAffine/warpPerspective 输出的严格测试；
• 教程原文：doc/py_tutorials/py_imgproc/py_geometric_transformations/py_geometric_transformations.markdown，本文所有代码示例均出自该文档并已保留其完整逻辑。

小结

OpenCV 的图像几何变换体系非常收敛：所有操作都归结为"构造变换矩阵 → 调用 warpAffine / warpPerspective"两步。缩放由 cv.resize 特化完成；平移、旋转、仿射共享 2x3 矩阵通道，其中旋转矩阵由 getRotationMatrix2D 按"旋转中心不动"的几何约束生成（源码印证见 geometry.cpp）；透视变换则升维到 3x3 单应矩阵，由 4 对点唯一确定。掌握"点数—自由度—共线约束"这条数学主线，再配合本文给出的可直接运行的 Python 代码，即可覆盖绝大多数工程场景中的图像对齐、文档校正与画面重定位需求。进一步阅读推荐教程原文末尾列出的参考书：Richard Szeliski 的 Computer Vision: Algorithms and Applications。