Ceres-Solver 中的可微分网格插值技术解析

背景介绍

在数值优化和计算机视觉领域，Ceres-Solver 是一个广泛使用的非线性最小二乘问题求解库。它提供了强大的自动微分功能，使得用户可以方便地定义各种优化问题。然而，在处理网格插值时，Ceres-Solver 目前存在一个限制：网格值本身不能作为可微分的参数参与优化。

问题本质

当前 Ceres-Solver 的网格插值实现（如 CubicInterpolator）在内部会将所有网格值强制转换为 double 类型，这意味着：

1. 网格值被视为固定常量，无法作为优化变量
2. 只能对查询点进行微分，不能对网格值本身进行微分
3. 限制了在某些应用场景下的灵活性

技术影响

这种限制在以下场景中会带来问题：

• 当需要优化网格本身的值时（如校正网格）
• 在机器学习模型中，网格作为可学习参数时
• 需要端到端微分的工作流程中

相比之下，PyTorch 等深度学习框架可以轻松实现这种功能，因为它们的张量操作天然支持全微分。

解决方案分析

要实现网格值的可微分性，需要对 Ceres-Solver 的插值模块进行以下改进：

1. 修改 Grid1D 和 CubicInterpolator 模板类，使其支持模板化的网格值类型
2. 确保所有内部计算都保持模板类型，避免不必要的类型转换
3. 维护现有的性能特性，不引入额外计算开销

应用场景示例

考虑一个二维仿射变换与畸变校正的组合问题：

struct Affine2DWithDistortion {
  template <typename T>
  bool operator()(const T* theta, const T* t, const T* distortion_values, T* residuals) const {
    // 计算变换后的坐标
    const T q_0 = cos(theta[0]) * x[0] - sin(theta[0]) * x[1] + t[0];
    const T q_1 = sin(theta[0]) * x[0] + cos(theta[0]) * x[1] + t[1];
    
    // 计算径向距离平方
    const T r2 = q_0 * q_0 + q_1 * q_1;
    
    // 创建可微分网格插值器
    ceres::Grid1D<T, 1> grid(distortion_values, 0, 100);
    ceres::CubicInterpolator<ceres::Grid1D<T, 1>> compute_distortion(grid);
    
    // 评估畸变值
    T f;
    compute_distortion.Evaluate(r2, &f);

    // 计算残差
    residuals[0] = y[0] - f * q_0;
    residuals[1] = y[1] - f * q_1;
    return true;
  }
};

在这种实现中，distortion_values 可以作为优化变量参与自动微分过程，使得整个系统能够端到端地优化畸变校正参数。

技术实现考量

实现这种功能需要考虑以下技术细节：

1. 模板特化：需要确保所有内部计算都正确处理模板类型
2. 性能优化：保持现有实现的效率，避免因支持微分而引入额外开销
3. API兼容性：确保新功能与现有API保持兼容
4. 边界条件处理：正确处理网格边界处的插值行为

未来展望

随着可微分编程的普及，支持网格值的微分将成为科学计算库的重要功能。这种改进将使 Ceres-Solver 能够：

1. 更好地与深度学习框架集成
2. 支持更复杂的优化问题建模
3. 在相机标定、图像处理等领域提供更灵活的解决方案

总结

Ceres-Solver 中实现可微分网格插值是提升库功能完整性的重要一步。这将扩展其在各类优化问题中的应用范围，特别是在需要同时优化参数和网格值的场景中。通过合理的模板设计和性能优化，可以在不牺牲效率的情况下实现这一功能。