使用PyKAN拟合Black-Scholes期权定价模型的技术实践

背景介绍

Black-Scholes模型是金融衍生品定价领域最经典的数学模型之一，它提供了一个解析解来计算欧式期权的理论价格。该模型假设标的资产价格服从几何布朗运动，并考虑了无风险利率、波动率等因素。

问题描述

在尝试使用PyKAN（一种基于Kolmogorov-Arnold网络的Python库）拟合Black-Scholes模型时，遇到了模型训练效果不佳的问题。具体表现为损失函数很快收敛但无法达到理想的精度水平。

技术分析

原始实现的问题

最初的实现中，定义Black-Scholes价格函数时使用了以下方式：

f = lambda x: black_scholes_price(x[:, 0], x[:, 1])

这种实现方式会导致输入张量的维度处理不当，使得KAN网络无法正确学习输入特征与输出之间的关系。

解决方案

通过修改函数定义，确保输入张量的维度正确：

f = lambda x: black_scholes_price(x[:,[0]], x[:,[1]])

这一修改确保了输入张量保持正确的二维结构，使得KAN网络能够正确处理输入特征。

深入技术细节

Black-Scholes模型实现

Black-Scholes模型的Python实现需要考虑以下几个关键点：

1. 使用PyTorch的张量运算确保计算的高效性
2. 正确实现标准正态分布的累积分布函数
3. 处理输入参数的维度一致性

KAN网络配置

在使用KAN网络拟合时，需要注意以下配置参数：

1. 网络宽度(width)：控制网络的容量
2. 网格大小(grid)：影响函数的逼近精度
3. 正则化参数(lamb)：防止过拟合
4. 训练步数(steps)：足够的训练迭代次数

性能优化建议

1. 数据预处理：确保输入数据在合理范围内标准化
2. 网格扩展：逐步增加网格大小以提高逼近精度
3. 批量训练：使用适当大小的批量数据进行训练
4. 精度设置：考虑使用双精度浮点数提高计算精度

实际应用价值

成功拟合Black-Scholes模型对于金融工程领域具有重要意义：

1. 验证KAN网络在金融衍生品定价中的适用性
2. 为更复杂的期权定价模型提供基础框架
3. 展示了神经网络在传统解析模型中的应用潜力

结论

通过正确处理输入张量的维度，PyKAN能够有效学习Black-Scholes期权定价模型。这一实践不仅解决了具体的技术问题，也为后续在金融工程领域应用KAN网络提供了有价值的参考。对于更复杂的金融衍生品定价问题，可以考虑在此基础上扩展网络结构和训练策略。