线性回归基础：从理论到实践

线性回归是机器学习中最基础且重要的模型之一，它为我们理解更复杂的神经网络奠定了基础。本文将深入浅出地介绍线性回归的核心概念、数学原理和实现方法。

什么是线性回归？

线性回归是一种用于建模输入变量（特征）与输出变量（目标）之间线性关系的统计方法。它的主要目标是找到最佳的线性关系，使得预测值与实际观测值之间的差异最小。

回归分析在自然科学和社会科学中广泛应用，主要用于：

• 描述输入和输出之间的关系
• 预测数值（如房价、市场趋势等）

线性回归的基本要素

线性模型

线性回归假设目标值y可以表示为输入特征x的加权和加上一个偏置项：

$$\hat{y} = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_dx_d + b$$

其中：

• $w_i$是权重参数，决定每个特征对预测的影响
• b是偏置项，表示所有特征为0时的预测值

损失函数

为了衡量模型预测的好坏，我们使用**均方误差（MSE）**作为损失函数：

$$L(w,b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2$$

这个函数计算了所有样本预测值与真实值之间的平方差的平均值。

优化方法

解析解

对于线性回归，我们可以直接求出最优参数的解析解：

$$w^* = (X^TX)^{-1}X^Ty$$

这种方法在小数据集上非常高效，但在大数据集或高维情况下计算成本很高。

随机梯度下降（SGD）

更通用的方法是使用梯度下降算法逐步优化参数：

1. 随机初始化权重和偏置
2. 计算损失函数关于参数的梯度
3. 沿负梯度方向更新参数
4. 重复直到收敛

在实际应用中，我们通常使用小批量随机梯度下降（Mini-batch SGD），它结合了计算效率和收敛稳定性。

实现技巧

向量化计算

使用向量化操作可以显著提高计算效率：

# 非向量化实现（慢）
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]

# 向量化实现（快）
c = a + b

向量化不仅使代码更简洁，还能利用现代CPU/GPU的并行计算能力。

正态分布与平方损失

平方损失函数的选择可以从概率角度解释：假设观测噪声服从正态分布时，最小化平方损失等价于最大化似然函数。

正态分布的概率密度函数为：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

从线性回归到神经网络

线性回归可以看作是最简单的神经网络 - 单层全连接网络：

• 输入层：d个特征
• 输出层：1个神经元（预测值）
• 激活函数：恒等函数（无非线性变换）

这种视角帮助我们理解更复杂神经网络的基础结构。

总结

1. 线性回归是机器学习的基础模型，假设输入输出间存在线性关系
2. 通过最小化均方误差来优化模型参数
3. 可以使用解析解或梯度下降法求解
4. 向量化实现能大幅提高计算效率
5. 线性回归是最简单的神经网络形式

理解线性回归为学习更复杂的深度学习模型奠定了坚实基础。虽然现代深度学习模型要复杂得多，但许多核心概念（如损失函数、梯度下降等）都源于这些基础模型。