CVXPY 中处理非凸约束的变量替换技巧

问题背景

在使用CVXPY进行凸优化建模时，经常会遇到违反DCP(Disciplined Convex Programming)规则的情况。本文通过一个实际的处理器调度优化案例，展示了如何通过变量替换技巧将非凸问题转化为凸优化问题。

原始问题分析

原始问题试图优化处理器调度，目标是：

1. 最小化总能耗（与处理器速度平方成正比）
2. 满足每个任务在指定时间窗口内完成工作量的要求
3. 处理器速度在允许范围内

原始代码中直接使用了θ（任务分配比例）和s（处理器速度）的乘积作为约束，这导致了非凸问题，因为变量相乘违反了DCP规则。

变量替换技巧

关键的技术点在于引入新的变量S代替θ和s的乘积：

Sₜᵢ = θₜᵢ × sₜ

这种替换将问题转化为：

1. 优化变量变为S和s
2. 处理器速度s可以表示为S的行和
3. 任务完成量约束变为S的列和

实现细节

修改后的实现包含以下重要部分：

1. 定义新变量S代替θ
2. 添加S≥0的约束（隐含θ≥0）
3. 通过s = sum(S, axis=1)保持变量间关系
4. 任务约束改为对S的求和

完整解决方案

以下是完整的优化代码实现：

import cvxpy as cp
import numpy as np

# 输入参数
A = np.array([1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 13, 10, 12])
D = np.array([6, 13, 10, 10, 10, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 17])
W = np.array([5, 3.75, 3, 6, 9, 3, 3, 1, 3, 7, 0.875, 6.25])
s_min, s_max = 1, 6
T, n = 16, 12

# 定义变量
S = cp.Variable((T, n))  # 新变量代替θ×s
s_var = cp.Variable(T)   # 处理器速度

# 目标函数：最小化总能耗
objective = cp.Minimize(cp.sum_squares(s_var) * T)

# 约束条件
constraints = [
    s_min <= s_var,
    s_var <= s_max,
    s_var == cp.sum(S, axis=1),  # 保持变量关系
    S >= 0
]

# 任务约束
for i in range(n):
    constraints += [cp.sum([S[t,i] for t in range(A[i], D[i] - 1)]) >= W[i]]

# 求解问题
problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve()

# 结果处理
if problem.status == cp.OPTIMAL:
    optimal_theta = S.value / s_var.value.reshape((-1,1))
    optimal_s = s_var.value

技术要点总结

1. 变量替换：将非线性项替换为新变量是处理非凸问题的有效方法
2. 约束转化：保持原始问题语义的同时满足DCP规则
3. 结果恢复：求解后可以通过简单计算恢复原始变量

这种方法不仅适用于处理器调度问题，也可以推广到其他包含变量乘积的优化场景中。