2D高斯泼溅项目中视图空间位置梯度的计算原理

视图空间位置梯度计算的核心思想

在2D高斯泼溅项目中，视图空间位置梯度的计算是一个关键环节，它直接影响到模型的优化效果。与传统的3D高斯泼溅不同，2D高斯泼溅中的高斯分布定义在世界空间中，而非屏幕空间，这使得梯度计算需要特殊的处理方式。

数学推导过程

视图空间位置梯度的计算基于以下数学关系：假设有一个3D点(px, py, pz)和NDC空间中的2D点(x,y)，它们之间存在如下转换关系：

(px, py, pz) = (0.5 * H * x * pz, 0.5 * W * y * pz, pz)

从px = 0.5 * H * z * x这个等式出发，我们可以推导出梯度关系：

dL/dpx = dL/[dx * (0.5 * H * pz)]

因此，dL/dx = dL/dpx * 0.5 * H * pz

代码实现解析

在实际代码实现中，使用了变换矩阵T的第三列来精确表示视图空间中的3D中心点p_view。这个计算过程通过以下步骤完成：

1. 首先构建从高斯泼溅到世界坐标系的变换矩阵splat2world
2. 然后构建从世界坐标系到NDC坐标系的变换矩阵world2ndc
3. 最后构建从NDC到像素坐标的变换矩阵ndc2pix
4. 将这些变换矩阵相乘得到最终的变换矩阵T

与3D高斯泼溅的区别

2D高斯泼溅与3D高斯泼溅在梯度计算上有显著不同。在3D高斯泼溅中，2D高斯分布在屏幕空间中定义，可以直接计算梯度。而在2D高斯泼溅中，由于高斯分布定义在世界空间，需要特殊的近似方法来计算dL_dmean2D，以支持密度化过程。

坐标系统转换的理解

在计算机图形学中，视图变换是从一个3D空间到另一个3D空间的转换过程。在透视除法之前，所有坐标都保持在3D空间中。这一点对于理解2D高斯泼溅中的坐标转换至关重要，因为它解释了为什么需要在3D空间中进行计算，而不是直接在2D像素空间中进行。

实际应用意义

这种梯度计算方法使得2D高斯泼溅能够有效地进行密度化处理，尽管其高斯分布定义在世界空间而非屏幕空间。通过精确计算视图空间中的位置梯度，模型能够更好地优化高斯分布参数，从而提高渲染质量和训练效率。