2D高斯泼溅项目中2D-2D映射矩阵的维度解析

在2D高斯泼溅(2D Gaussian Splatting)项目中，forward.cu文件中的compute_transmat()函数实现了一个关键的2D到2D的映射变换。这个函数的核心是构建一个3x3的变换矩阵T，用于将高斯分布从世界坐标系映射到像素坐标系。

矩阵变换链的构成

该变换过程由三个主要矩阵组成：

1. splat2world矩阵：将高斯分布从其局部坐标系变换到世界坐标系
2. world2ndc矩阵：将世界坐标变换到标准化设备坐标(NDC)
3. ndc2pix矩阵：将NDC坐标变换到最终的像素坐标

GLM库的矩阵表示约定

这里需要特别注意GLM库的矩阵表示方式。在GLM中：

• mat3x4表示3列4行的矩阵
• 这与传统数学表示法中的4x3矩阵(4行3列)等价
• 这种表示差异源于GLM使用列主序存储方式

矩阵维度的数学验证

根据GLM的表示方式，我们可以验证矩阵乘法的维度：

• splat2world: mat3x4 (数学上的4x3)
• world2ndc: mat4x4 (4x4)
• ndc2pix: mat3x4 (数学上的4x3)

因此，变换链的维度关系为： (4x3) × (4x4) × (4x3) → 首先计算中间结果 (4x3) × (4x4) = (4x3)，然后 (4x3) × (4x3) = (3x3)

实际计算过程

在代码中，首先对splat2world进行了转置操作，这实际上将其从GLM的mat3x4(数学4x3)转换为mat4x3(数学3x4)。因此完整的计算过程变为： (3x4) × (4x4) × (4x3) = (3x3)

这种设计确保了最终得到的T矩阵是一个3x3的变换矩阵，可以正确地将2D高斯分布从世界空间映射到图像空间。

技术实现的意义

这种矩阵变换链的设计在计算机图形学和计算机视觉中非常常见，它实现了从物体局部坐标系到最终屏幕像素坐标的高效转换。理解这种矩阵维度的处理方式对于深入掌握3D图形渲染管线至关重要。

在2D高斯泼溅项目中，这种变换特别重要，因为它决定了每个高斯分布如何在2D平面上进行"泼溅"渲染，直接影响最终的渲染质量和效率。