首页
/ SciML/JumpProcesses.jl 教程:理解跳跃扩散方程与马尔可夫过程

SciML/JumpProcesses.jl 教程:理解跳跃扩散方程与马尔可夫过程

2025-06-04 07:46:12作者:冯梦姬Eddie

前言

在科学计算和工程建模中,我们经常需要处理同时包含连续和离散随机过程的系统。JumpProcesses.jl 作为 SciML 生态系统的重要组成部分,专门用于解决这类混合了确定性微分方程、随机扩散和离散跳跃的复杂问题。本文将带你深入了解如何使用 JumpProcesses.jl 构建和求解跳跃扩散方程和分段确定性马尔可夫过程。

基本概念

什么是跳跃扩散方程?

跳跃扩散方程是包含三种动态的随机微分方程:

  1. 确定性漂移:由常微分方程描述的系统演化
  2. 随机扩散:由布朗运动描述的连续随机波动
  3. 随机跳跃:由泊松过程描述的离散随机事件

数学表达式为:

du = f(u,p,t)dt + \sum_{j}g_j(u,p,t)dW_j(t) + \sum_{i}h_i(u,p,t)dN_i(t)

什么是分段确定性马尔可夫过程?

当方程中不包含扩散项(即所有 g_j = 0)时,我们称其为分段确定性马尔可夫过程(PDMP)。这类过程在系统演化过程中会经历离散的跳跃事件,而在跳跃之间则遵循确定性动力学。

环境准备

在开始前,请确保已安装必要的包:

using Pkg
Pkg.add("DifferentialEquations")
Pkg.add("Plots")

加载包并设置绘图默认参数:

using DifferentialEquations, Plots
default(; lw = 2)

构建常数率跳跃问题

问题定义

考虑一个线性ODE,耦合一个速率为2的泊松计数器。每次跳跃发生时,当前解的值将减半。

首先定义ODE问题:

function f(du, u, p, t)
    du[1] = u[1]  # 线性增长
    nothing
end

prob = ODEProblem(f, [0.2], (0.0, 10.0))  # 初始值0.2,时间范围0-10

跳跃定义

定义常数跳跃率和影响函数:

rate(u, p, t) = 2  # 固定跳跃率2

function affect!(integrator)
    integrator.u[1] /= 2  # 每次跳跃将值减半
    nothing
end

const_jump = ConstantRateJump(rate, affect!)  # 创建常数率跳跃

问题求解

将跳跃耦合到ODE问题并求解:

jump_prob = JumpProblem(prob, Direct(), const_jump)
sol = solve(jump_prob, Tsit5())
plot(sol)

结果将显示函数值随时间线性增长,但会定期发生跳跃使值减半。

构建变率跳跃问题

问题定义

现在考虑跳跃率依赖于当前解值的情况。设跳跃率等于当前解值:

rate(u, p, t) = u[1]  # 跳跃率与当前值成正比

var_jump = VariableRateJump(rate, affect!)  # 创建变率跳跃

问题求解

jump_prob = JumpProblem(prob, Direct(), var_jump)
sol = solve(jump_prob, Tsit5())
plot(sol)

这种情况下,随着函数值增大,跳跃频率增加;而每次跳跃后值减半,跳跃频率也随之降低。

多跳跃系统

我们可以同时包含多种跳跃类型:

jump_prob = JumpProblem(prob, Direct(), const_jump, var_jump)
sol = solve(jump_prob, Tsit5())
plot(sol)

常数跳跃确保函数在较规律的时间间隔跳跃,而变率跳跃则在函数值较高时增加跳跃频率。

跳跃扩散问题

问题定义

现在考虑完整的跳跃扩散问题,包含确定性漂移、随机扩散和跳跃:

function g(du, u, p, t)
    du[1] = u[1]  # 乘性噪声
    nothing
end

prob = SDEProblem(f, g, [0.2], (0.0, 10.0))  # 定义SDE问题

问题求解

jump_prob = JumpProblem(prob, Direct(), const_jump, var_jump)
sol = solve(jump_prob, SRIW1())  # 使用SDE求解器
plot(sol)

由于扩散项的存在,函数会在零附近随机波动。跳跃行为仍然保持:高频出现在高值区域,且每次跳跃值减半。

性能考虑

  1. 跳跃类型选择:尽可能使用ConstantRateJump,它比VariableRateJump计算效率更高
  2. 求解器选择:对于纯跳跃ODE问题,可以使用常规ODE求解器;对于跳跃扩散问题,需要使用SDE求解器
  3. 精度控制:当跳跃率轻微依赖于解时,仍可使用ConstantRateJump,精度损失与跳跃间隔内速率变化百分比相关

总结

JumpProcesses.jl 提供了强大的工具来建模和求解包含跳跃的随机微分方程。通过本教程,我们学习了:

  1. 如何定义不同类型的跳跃(常数率和变率)
  2. 如何将跳跃耦合到ODE和SDE问题中
  3. 如何求解包含单跳跃和多跳跃的系统
  4. 理解跳跃扩散方程与分段确定性马尔可夫过程的区别

这些技术可以应用于广泛的领域,包括金融建模、生物化学过程、可靠性工程等需要同时考虑连续和离散随机过程的场景。

登录后查看全文
热门项目推荐

项目优选

收起
docsdocs
OpenHarmony documentation | OpenHarmony开发者文档
Dockerfile
149
1.95 K
kernelkernel
deepin linux kernel
C
22
6
openHiTLSopenHiTLS
旨在打造算法先进、性能卓越、高效敏捷、安全可靠的密码套件,通过轻量级、可剪裁的软件技术架构满足各行业不同场景的多样化要求,让密码技术应用更简单,同时探索后量子等先进算法创新实践,构建密码前沿技术底座!
C
980
395
ohos_react_nativeohos_react_native
React Native鸿蒙化仓库
C++
192
274
RuoYi-Vue3RuoYi-Vue3
🎉 (RuoYi)官方仓库 基于SpringBoot,Spring Security,JWT,Vue3 & Vite、Element Plus 的前后端分离权限管理系统
Vue
931
555
openGauss-serveropenGauss-server
openGauss kernel ~ openGauss is an open source relational database management system
C++
145
190
nop-entropynop-entropy
Nop Platform 2.0是基于可逆计算理论实现的采用面向语言编程范式的新一代低代码开发平台,包含基于全新原理从零开始研发的GraphQL引擎、ORM引擎、工作流引擎、报表引擎、规则引擎、批处理引引擎等完整设计。nop-entropy是它的后端部分,采用java语言实现,可选择集成Spring框架或者Quarkus框架。中小企业可以免费商用
Java
8
0
金融AI编程实战金融AI编程实战
为非计算机科班出身 (例如财经类高校金融学院) 同学量身定制,新手友好,让学生以亲身实践开源开发的方式,学会使用计算机自动化自己的科研/创新工作。案例以量化投资为主线,涉及 Bash、Python、SQL、BI、AI 等全技术栈,培养面向未来的数智化人才 (如数据工程师、数据分析师、数据科学家、数据决策者、量化投资人)。
Jupyter Notebook
75
66
openHiTLS-examplesopenHiTLS-examples
本仓将为广大高校开发者提供开源实践和创新开发平台,收集和展示openHiTLS示例代码及创新应用,欢迎大家投稿,让全世界看到您的精巧密码实现设计,也让更多人通过您的优秀成果,理解、喜爱上密码技术。
C
65
518
CangjieCommunityCangjieCommunity
为仓颉编程语言开发者打造活跃、开放、高质量的社区环境
Markdown
1.11 K
0